Matemática 9º Ano

Equação do 2º Grau – Soma e Produto das Raízes

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📐 1. Relações de Girard

Soma e Produto sem resolver a equação

Dada a equação ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0) e suas raízes x₁ e x₂, temos:

Soma = x₁ + x₂ = -b/a Produto = x₁ · x₂ = c/a Válidas para quaisquer raízes reais ou complexas
Por que funciona? Partindo da forma fatorada a(x - x₁)(x - x₂) = ax² - a(x₁+x₂)x + a·x₁·x₂, comparando com ax²+bx+c, obtemos essas relações.
⚙️ 2. Aplicações Práticas

Encontrar raízes conhecendo a soma e o produto

Se conhecemos a soma S e o produto P de duas raízes, elas são as soluções da equação:

x² - Sx + P = 0
  • Exemplo 1: Numa equação x² - 5x + 6 = 0 → S = 5, P = 6. Quais números somam 5 e multiplicam 6? 2 e 3.
  • Exemplo 2: S = 0, P = -9 → equação x² - 9 = 0 → raízes ±3.
  • Exemplo 3: S = 4, P = 4 → raízes iguais a 2 (x² - 4x + 4 = 0).
📝 3. Construir a Equação a partir das Raízes

Dadas as raízes, escreva a equação

Se as raízes são r₁ e r₂, a equação pode ser escrita como:

x² - (r₁ + r₂)x + (r₁·r₂) = 0 Ou, de forma geral: a[x² - Sx + P] = 0
Exemplo: Raízes 2 e 5 → S = 7, P = 10 → equação: x² - 7x + 10 = 0.
🧠 4. Outras Relações Úteis

Expressões simétricas

Podemos calcular outras combinações sem conhecer as raízes individualmente:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = S² - 2P

• (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = S² - 4P

• 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = S/P

• x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = S³ - 3PS

A Prova de Girard

30 questões sobre soma e produto das raízes das equações do 2º grau. Acerta 80% (24/30) para dominares o tema!

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